حل عددی پدیده ضربه قوچ با استفاده از روش عددی بدون شبکه حداقل مربعات گسسته همپوش

نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 گروه آب و محیط زیست-عمران-دانشگاه صنعتی شاهرود-شاهرود-ایران

2 عضو هیات علمی و رییس دانشکده مهندسی عمران

3 فاضل آباد- گروه عمران- دانشگاه گلستان

4 گروه مکانیک-دانشگاه صنعتی شاهرود-شاهرود

چکیده

چکیده
یکی از پدیده‌هایی که در شبکه لوله‌‌ها باعث ایجاد خسارت و کاهش عمرمفید تاسیسات آبی می‌شود، پدیده ضربه قوچ یا چکش آبی است. روش‌های عددی مختلفی در تحلیل این مساله به‌کار گرفته شده است. در تمامی روشهای عددی ارائه شده، محیط پیوستار مساله بایستی توسط ابزاری گسسته‌سازی شود تا مجهولات مساله که همان مقادیر سرعت و فشار ناشی از قطع ناگهانی جریان و حرکت موج فشاری در طول لوله می‌باشند، پس از طی فرایند حل، محاسبه گردند. با محاسبه دقیق این مجهولات، پیش از طراحی سازه‌ها می‌توان تمهیدات مناسبی در کاهش تنش‌های ناشی از رخداد ضربه قوچ، اتخاذ نمود.
سابقه و هدف
روش مرسوم برای مدلسازی معادلات دیفرانسیلی که این پدیده را تشریح می‌کنند، روش خطوط مشخصه است. به طور کل، در روش‌های معمول به خوبی توسعه یافته‌ی اجزای محدود، احجام محدود و تفاضل‌های محدود، گسسته سازی حوزه‌ی مکانی مساله با استفاده از ابزاری به نام شبکه‌بندی صورت می‌گیرد. با وجود استفاده مفید از این روش‌ها در بسیاری از زمینه‌های علمی، شبکه بندی، فرایندی پرهزینه و دردسرساز، به ویژه در مسائلی با مرزهای پیچیده است. همین امر انگیزه‌ی اصلی ابداع روش‌های بدون شبکه بوده است. در این‌گونه روش‌ها حوزه‌ی مکانی مساله توسط تعدادی نقطه به سادگی گسسته‌سازی می‌شود.
مواد و روش‌ها
در پژوهش حاضر، جهت مدلسازی ضربه قوچ کلاسیک در سیستمی شامل شیر، لوله و مخزن، از روش عددی بدون شبکه حداقل مربعات گسسته همپوش استفاده می‌شود. در رهیافت ارائه شده، از روش ضمنی کرنک نیکلسون برای گسسته سازی زمانی استفاده شده تا بتوان شرط کوچکتر بودن گام زمانی را برای پایداری حل از بین برد. در این روش، معادلات پیوستگی و مومنتوم جهت محاسبه مقادیر سرعت و فشار در صفحه x-t با استفاده از داده‌های گام زمانی قبلی، به طور همزمان محاسبه می‌شود. رهیافت ارائه شده کاملا ماتریسی بوده و فرایند حل، شامل چند عملیات جبری ساده می‌باشد که بر روی ماتریس های تنک صورت می‌گیرد.
یافته‌ها
در مقاله حاضر، ابتدا معادلات حاکم بر ضربه قوچ نوشته شده و سپس، کلیات روش عددی بدون شبکه حداقل مربعات گسسته همپوش به طور کامل، تشریح شده است. در ادامه، چندین آزمایش معتبر در مورد ضربه قوچ با روش فوق، مدلسازی شده و در انتها نیز یک مساله با به‌کارگیری روش کرنک- نیکلسون در حالات مختلف، تحلیل گردیده‌است. نتایج حاصل از مدلسازی مسائل با نتایج سایر روشهای عددی معتبر نظیر روش MOCو روش عددی به‌کار رفته توسط "زیلک" در نقاط بحرانی لوله نظیر پشت شیر و وسط لوله مورد برازش قرار گرفته است. همچنین، تحلیل هیدرولیکی مسائل و نحوه محاسبه جوابهای دقیق، به طور کامل، تشریح گردیده است. در نهایت، پس از به-کارگیری معیار مجموع مربعات خطا و تخمین خطایی کمتر از 5 درصد در کل بازه مورد بررسی، مشخص گردید که از این روش، می‌توان به عنوان یکی از روش‌های عددی دقیق، ساده و کم هزینه در مدلسازی مسایل ضربه قوچ استفاده نمود.
نتیجه‌گیری
عدم نیاز به انتگرالگیری، عملیات ریاضی کاملا ماتریسی و نیز بدون شبکه بودن فضای مساله از ویژگی های مهم روش عددی بدون شبکه است که علاوه بر کاهش منابع خطا می‌تواند یکی از دقیق‌ترین روش‌های حل عددی پدیده ضربه قوچ در سیستم لوله‌ها به شمار آید.

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

Numerical solution of water hammer phenomenon by Collocated Discrete Least Squares method

نویسندگان [English]

  • Banafsheh Norouzi 1
  • ahmad ahmadi 2
  • Mohsen Lashkarbolok 3
  • Mahmood Norouzi 4
1 water-Civil Engineering-University of Technology of shahrood- shahrood-Iran
2 Civil-Shahrood
3 Golestan Univ.
4 Mechanic Univ. Shahrood
چکیده [English]

Abstract
“Water hammer” is one of the phenomena that causes damage in the pipe system and reduces their useful life. Various numerical methods have been used to analyze this problem. In all numerical methods, for calculating the variables that are the velocity and pressure values due to the sudden discontinuity of the flow and motion of the pressure wave along the pipe, the continuum environment of the problem must be discretized in some way. With calculating these aberrations before designing of the structures accurately, appropriate measures can be taken to reduce tensions caused by the water-hammer phenomenon.

Background and objectives

The conventional method to numerically solve the differential equations that describe this phenomenon is the method of characteristic lines. In general, in conventional methods where have been developed correctly, such as finite element, finite volume and finite difference, discretization of the spatial domain of the problem is done by gridding. Despite the useful use of these methods in many scientific fields, gridding is a costly and troublesome process, especially on problems with complex boundaries. That is the main motive for the creation of meshless methods. In these methods, the spatial domain of the problem is simply discretized by a number of points.
Materials and methods
In the present study, for modeling classical water-hammer in a system including valve, pipe and reservoir, a collocated discrete least squares method is used. In the proposed approach implicit Crank-Nicolson method for time discretization is used to provide conditions for problem solving stability. In this method, the velocity and pressure values on the x-t plane are calculated directly from the previous time step simultaneously. This method is quite matrix and the solution process is accomplished including several simple algebraic operations on matrices.
Results
In this study, at first this numerical method is described generally then governing equations are calculated and several experiments on water hammer in the form of the problem have been modeled by this method, also the hydraulic analysis of problems and calculation steps for calculating accurate answers are fully described and the results are verified with exact answers and other numerical methods such as MOC method and numerical method used by “Zielk” and the computational average error was estimated to be less than 5% by total squared error criterion. So this method can be considered as a precise, simple, and low-cost numerical method for modeling of water-hammer phenomena.
Conclusion
Important properties of the Meshless numerical method included no need to integrate, complete mathematical math operations and meshless space makes it one of the most accurate methods for numerical solution of water hammer phenomenon in the pipe system.

کلیدواژه‌ها [English]

  • water hammer
  • pipe system
  • Meshless numerical method
 01.Afshar, M.H., and Lashckarbolok, M. 2008. Collocated discrete least-squares (CDLS)
meshless method: Error estimate and adaptive refinement. Numerical Methods in Fluids J.
56: 10. 1909-1928.
2.Afshar, M.H., Amani, J., and Naisipour, M. 2012. A node enrichment adaptive refinement in
Discrete Least Squares Meshless method for solution of elasticity problems. Eng. Anal.
Bound. Elem. J. 36: 3. 385-393.
3.Arzani, H., and Afshar, M.H. 2006. Solving Poisson’s equations by the discrete least square
meshless method. WIT Trans. Model. Simul. J. 42: 5. 23-32.
4.Atluri, S.N., and Zhu, T. 1998. A new meshless local Petrov–Galerkin (MLPG) approach in
computational mechanics. Computational Mechanics. 22: 2. 117-127.
5.Babuska, I., and Melenk, J. 1995. The partition of unity finite element method. Technical
report technical note BN-1185. Institute for Physical Science and Technology. University of
Maryland.
6.Belytschko, T., Lu, Y.Y., and Gu, L. 1994. Element-free Galerkin method. Inter. J. Num.
Method. Engin. 37: 2. 229-256.
7.Bergant, A., Hou, Q., Keramat, A., and Tijsseling, A. 2011. Experimental and numerical
analysis of water hammer in a large-scale PVC pipeline apparatus. P 27-36, 4th International
Meeting on Cavitation and Dynamic Problems in Hydraulic Machinery and Systems,
Belgrade, Serbia.
8.Bruce, E., Larock, Roland W. Jeppson and Gary Z. Watters. 2000. Hydraulics of Pipeline
Systems. CRC Press, Pp: 283-380.
9.Daneshfaraz, R., Sadeqfam S., and Majedi Asl, M. 2011. The effect of non-linear terms on the
process of computing water hammer with regard to friction coefficients for different cast iron
pipe. Inter. J. Engin. Appl. Sci. (IJEAS). 3: 3. 15-22.
10.Dilts, G.A. 1999. Moving least-squares-particle hydrodynamic – I. Consistency and stability.
Inter. J. Num. Method. Engin. 44: 8. 1115-1155.
11.Duarte, C.A., and Oden, J.T. 1996. An h-p adaptive method using clouds. Computer
Methods in Applied Mechanics and Engineering. 12: 6. 673-705.
12.Gingold, R.A., and Moraghan, J.J. 1977. Smooth particle hydrodynamics: theory and
application to non pherical stars. Man. Not. Roy. Astron. Soc. 181: 3. 375-389.
13.Holmboe E.L., and Rouleau W.T. 1967. The effect of viscous shear on transients in liquid
lines, Basic Eng. J. 89: 1. 174-180.
14.Korbar, R., Virag, Z., and Šavar, M. 2014. Truncated method of characteristics for quasitwo- dimensional water hammer model. Hydraul. Eng. J. 140: 6. 04014013-1: 04014013-7.
15.Liu, W.K., Li, S., Adee, J., and Belytschko, T. 1995. Reproducing kernel particle Methods.
Inter. J. Num. Method. Engin. 20: 8-9. 1081-1106.
16.Liu, G.R., and Tu, Z.H. 2002. An adaptive procedure based on background cells for meshless
methods. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. J. 191: 17-18. 1923-1943.
17.Nathan, G.K., Tan, J.K., and Ng, K.C. 1988. Two dimensional analysis of pressure transients
in pipelines, Num. Method. Fluid. J. 8: 5. 339-349.
18.Nayroles, B., Touzot, G., and Villon, P. 1992. Generalizing the finite element method diffuse
approximation and diffuse element. Computational Mechanics. 10: 5. 307-318.
19.Onate, E., Idelsohn, S., Zienkiewicz, O.C., and Taylor, R.L. 1996. A finite point method in
computational mechanics. Applications to convective transport and fluid flow. Inter. J. Num.
Method. Engin. 36: 22. 3839-3866.
20.Saikia, M., and Sarma, A.K. 2006. Simulation of water hammer flows with unsteady friction
factor. J. Engin. Appl. Sci. 1: 4. 35-40.
21.Shamloo, H., Norooz, R., and Mousavifard, M. 2015. A review of one-dimensional unsteady
friction models for transient pipe flow. P 2278-2288, The second national conference on
applied research in science and technology, Faculty of Science, Cumhuriyet University.
22.Tijsseling, S., and Bergant, A. 2007. Meshless computation of water hammer. P 65-77, 2nd
IAHR International meeting of the workgroup on cavitation and dynamic problems in
hydraulic machinery and systems. Timisoara, Romania.
23.Wahba, E.M. 2006. Runge–Kutta time-stepping schemes with TVD central differencing for
the water hammer equations. Int. J. Num. Method. Fluid. 52: 5. 571-590.
24.Wahba, E.M. 2008. Modelling the attenuation of laminar fluid transients in piping systems.
Appl. Math. Model J. 32: 12. 2863-2871.
25.Wahba, E.M. 2013. Non-Newtonian fluid hammer in elastic circular pipes: Shear-thinning
and shear-thickening effects. Non-Newtonian Fluid Mech. J. 198: 10. 24-30.
26.Whilie, E.B., and Streeter, V.L. 1978. Fluid Transient, McGraw Hill, United states of
America, Pp: 379-420.
27.Zanganeh, R., Ahmadi, A., and Keramat, A. 2014. Fluid–structure interaction with
viscoelastic supports during waterhammer ina pipeline. J. Fluid. Structure. 54: 6. 215-234.
28.Zielke, W. 1968. Frequency- Dependent Friction in Transient Pipe flow. Basic Eng. J.
90: 1. 109-115.